Himpunan : 2019

Pengertian Himpunan

Dalam ilmu matematika, himpunan ialah sekumpulan objek yang mempunyai sifat yg dapat didefinisikan dengan jelas, segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan.

Himpunan adalah salah satu konsep penting dan mendasar dalam ilmu matematika modern, dan oleh karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Dibawah ini adalah gambar bentuk dari irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram venn:

Notasi Himpunan

Pada umumnya, nama himpunan itu ditulis dengan menggunakan huruf besar S, A dan B, sementara anggota himpunnya ditulis dengan menggunakan huruf kecil (a, c dan z).
Cara penulisan ini adalah cara yang umum dipakai, namun akan tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu.

Tabel dibawah berikut ini menunjukan format penulisan himpunan yang telah umu dipakai, yaitu:

Nama	Notasi	Contoh
Himpunan	Huruf besar	$S$
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)	$a$
Kelas	Huruf tulisan tangan	${\mathcal {C}}$

Himpunan-himpunan bilangan yang sudah dikenal, yaitu seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus, yaitu:

Bilangan	Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks
Notasi	$\mathbb {N}$	$\mathbb {Z}$	$\mathbb {Q}$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {C}$

Simbol-simbol khusus yang dipakai di dalam teori himpunan ialah:

Simbol	Artinya
$\{\}$ atau $\varnothing$	Himpunan Kosong
$\cup$	Operasi Gabungan Dua Himpunan
$\cap$	Operasi Irisan Dua Himpunan
$\subseteq$ , $\subset$ , $\supseteq$ , $\supset$	Sub himpunan, Sub Himpunan Sejati, Super himpunan, Super himpunan Sejati
$A^{C}$	Komplemen
${\mathcal {P}}(A)$	Himpunan Kuasa

Himpunan ini dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Apabila terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, maka dapat digunakan elipsis (…).

B=\{apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}

A=\{a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}

\mathbb {N} =\{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, akan tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi dari setiap anggota himpunan tersebut.

O=\{u\,|\,u{\mbox{ adalah bilangan ganjil}}\}

E=\{x\,|\,x\in \mathbb {Z} \land (x{\mbox{ mod }}2=0)\}

P=\{p\,|\,p{\mbox{adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI}}\}

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks yaitu sebagai berikut:

A=\{x\,|\,x\notin A\}

Himpunan A tidak mungkin ada, karena apabila A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun apabila bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A dapat mengandung anggota tersebut.

Jenis Jenis Himpunan

1. Himpunan Semesta

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan yaitu himpunan yang memuat semua anggota ataupun objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta (semesta pembicaraan) umumnya dilambangkan dengan S atau U.
Contoh: Kalau kita membahas mengenai 1, ½, -2, -½,… maka semesta pembicaraan kita yaitu bilangan real.
Jadi himpunan semesta yang dimaksud adalah R. Apakah hanya R saja? Jawabannya tidak. Tergantung kita mau membatasi pembicaraanya.
Pada contoh di atas bisa saja dikatakan semestanya adalah C (himpunan bilangan kompleks). Namun kita tidak boleh mengambil Z (himpunan bilangan bulat) sebagai semesta pembicaraan.

2. Himpunan Kosong

Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan dinotasikan dengan {} atau ∅. Himpunan nol adalah himpunan yang hanya mempunyai l anggota, yaitu nol (0).
Himpunan kosong tidak mempunyai anggota apa pun, dan ditulis sebagai:

\varnothing =\{\,\}

3. Himpunan Bagian

Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan dinotasikan A ⊂ B atau B ⊃ A.
Jika ada himpunan A dan B di mana setiap anggota A merupakan anggota B, maka dikatakan A merupakan himpunan bagian (subset) dari B atau dikatakan B memuat A dan dilambangkan dengan A ⊂ B.
Jadi, A ⊂ B jika dan hanya jika 𝑥 ⊂ A ⇒ 𝑥 ⊂ B
Jika ada anggota dari A yang bukan merupakan anggota B, maka A bukan bukan himpunan bagian dari B, dilambangkan dengan A ⊄ B.

Hukum Himpunan

Hukum suatu himpunan yaitu terdiri dari:

Hukum Komutatif
- p ∩ q : q ∩ p
- p ∪ q : q ∪ p
Hukum Asosiatif
- (p ∩ q) ∩ r : p ∩ (q ∩ r)
- (p ∪ q) ∪ r : p ∪ (q ∪ r)
Hukum Distributif
- p ∩ (q ∪ r) : (p ∩ q) ∪ (p ∩ r)
- p ∪ (q ∩ r) : (p ∪ q) ∩ (p ∪ r)
Hukum Identitas
- p ∩ S : p
- p ∪ ∅ : p
Hukum Ikatan
- p ∩ ∅ : ∅
- p ∪ S : S
Hukum Negasi
- p ∩ p’ : ∅
- p ∪ p’ : S
Hukum Negasi Ganda
- (p’)’ : p
Hukum Idempotent
- p ∩ p : p
- p ∪ p : p
Hukum De Morgan
- (p ∩ q)’ : p’ ∪ q’
- (p ∪ q)’ : p’ ∩ q’
Hukum Penyerapan
- p ∩ (p ∪ q) : p
- p ∪ (p ∩ q) : p
Negasi S dan ∅
- S’ : ∅
- ∅’ : S

Operasi Himpunan

1. Irisan Himpunan

Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya ada di himpunan A dan ada di himpunan B. Dengan kata lain yaitu himpunan yang anggotanya ada di kedua himpunan tersebut.
Contoh: A = {a, b, c, d, e} dan B = {b, c, f, g, h}
Pada kedua himpunan tersebut ada dua anggota yang sama yaitu b dan c. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa irisan himpunan A dan B adalah b dan c atau ditulis dengan:

A ∩ B = {b, c}

A ∩ B dibaca himpunan A irisan himpunan B. Dengan diagram Venn A ∩ B bisa dinyatakan seperti pada Gambar berikut ini.

2. Gabungan Himpunan

A gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}
Contohnya :
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 7, 11}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 11}

3. Selisih

A Selisih B ditulis A-B = {x | x ∈ A atau x Ï B}
Contohnya :
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 7, 11}
A-B = {1, 4}

4. Komplemen himpunan

Komplemen dari sebuah himpunan adalah berbagai unsur yang terdapat di dalam himpunan universal (semesta pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut. Komplemen A ditulis A1 atau Ac = {x | x ∈ S dan x Ï A}
Contohnya :
A= {1, 2, … , 5}
S = {biangan Asli kurang dari 10}
Ac = {6, 7, 8, 9}

5. Beda setangkup (SYMMETRIC DIFFERENCE)

Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan dengan penggunakan tanda atau simbol ‘⊕‘.
contoh:
A dan B merupakan himpunan, maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan menjadi:
A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
= (A – B) ∪ (B – A)

Contoh beda setangkup:
Apabila A = { 2, 3, 5, 7} serta B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 }
Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif)
(A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif

Diagram Venn

Diagram venn adalah menyajikan suatu himpunan dengan satu himpunan memakai lingkaran dan seluruh himpunan atau himpunan semesta digambarkan dengan gambar segi empat.
Macam – Macam Himpunan :

Himpunan bilangan asli, yaitu A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … }
Himpunan dari bilangan cacah , yaitu C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …. }
Himpunan dari bilangan prima, yaitu X = { 2, 3, 5, 7, …. }
Himpunan bilangan ganjil, yaitu G = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …. }
Himpunan bilangan genap, misalnya G = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …. }
Dan seterusnya.

Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Untuk mencari himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear dua variabel dapat kita lakukan dengan menggunakan empat metode atau cara, diantaranya yaitu:

Metode grafik
Metode substitusi
Metode eliminasi
Metode campuran (substitusi dan eliminasi).

       Apabila terdapat dua buah persamaan liniear dua variabel yang berbentuk ax + by = c dan px + qy = r, dimana persamaan yang satu dan yang lainnya tidak terpisahkan, maka persamaan-persamaan itu disebut sebagai sistem persamaan linear dua variabel.
Adapun bentuk umum dari sistem persamaan linear dua variabel, yakni:
         ax + by = c
         px + qy = r
       Dalam sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) a, b, p, dan q disebut sebagai koefisien, x serta y merupakan variabel dari SPLDV, sementara c dan r disebut sebagai konstanta.

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Dari 28 orang siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakurikuler di sekolah serta masing-masing
    siswa tersebut berjumlah 15 orang siswa yang mengikuti pramuka. Kemudian 12 orang siswa
    mengikuti futsal. Serta yang terakhir 7 orang siswa yang mengikuti keduanya.
    Maka hitunglah berapa banyak siswa yang tidak mengikuti ekstrakurikuler pramuka ataupun
   ekstrakurikuler futsal ialah?
   Penyelesaian :
          Misalkan ( x ) merupakan banyak siswa yang tidak mengikuti ekstrakurikuler.
          Banyak anak yang hanya mengikuti ekstrakurikuler pramuka adalah sebanyak 15 – 7 = 8 siswa.
          Banyak anak yang hanya mengikuti ekstrakurikuler futsal adalah sebanyak 12 – 7 = 5 siswa.
          Maka himpunan tersebut bisa kita gambarkan dengan menggunakan bentuk diagram venn
    seperti gambar yang ada di bawah ini :

Banyak anak yang tidak mengikuti ekstrakurikuler adalah:

          8 + 7 + 5 + x = 28
                    20 + x = 28
                            x = 28 – 20
                            x = 8 siswa

Sehingga, banyaknya siswa yang tidak mengikuti ekstrakurikuler pramuka ataupun
ekstrakurikuler futsal sebanyak 8 orang siswa.

2. Diketahui:

A = { x | 1 < x < 20, maka x merupakan bilangan prima }.
B = { y | 1 y 10, maka y merupakan bilangan ganjil }.

Maka tentukanlah hasil dari A ∩ B ?
Penyelesaian :

A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 16, 17, 19 }
B = { 1, 3, 5, 7, 9 }

Simbol yang artinya irisan merupakan salah satu cara untuk himpunan anggota yang sama dari
himpunan yang saling berhubungan.

A ∩ B = { 3, 5, 7 }

       Maka dari itu, hasil dari A ∩ B = { 3, 5, 7 }.

3. Dari 40 orang bayi, diketahui bahwa terdapat 18 orang bayi yang suka memakan pisang, kemudian
    ada juga 25 bayi yang suka makan bubur, serta ada juga 9 orang bayi yang menyukai keduanya.
    Maka hitunglah berapa banyak bayi yang tidak menyukai pisang dan juga bubur?
Penyelesaian :

n { A Λ B } = ( n { A } + n { B } ) – ( n { S } – n { X } )
                 9 = ( 18 + 25 ) – ( 40 – n { X } )
                 9 = 43 – 40 + n { X }
                 9 = 3 + n { X }
           9 – 3 = n { X }
       n { X } = 6 orang bayi

     Sehingga, banyak bayi yang tidak menyukai pisang dan bubur ada sebanyak 6 orang bayi

4. Kelas 9C terdiri dari 31 orang siswa. Lalu ada 15 orang siswa yang mengikuti kompetisi
    matematika, kemudian ada juga 13 orang siswa yang mengikuti kompetisi IPA, dan sisa nya ada 7
    orang siswa yang tidak mengikuti kompetisi apapun.
    Maka hitunglah berapa banyak siswa yang mengikuti kedua kompetisi tersebut ?
    Penyelesaian :
    Misalkan ( x ) ialah banyak siswa yang mengikuti kedua kompetisi tersebut.
    Maka himpunan tersebut dapat digambarkan dengan bentuk diagram venn seperti gambar yang di
    bawah ini :

           Jumlah dari semua siswa ialah = 31 orang siswa, maka :
                                x + 15 – x + 13 – x + 7 = 31.
   35 – x = 31.
   x = 4.
           Jadi, banyak siswa yang mengikuti kedua kompetisi tersebut ialah 4 orang siswa.

5. Dari 42 kambing yang ada di kandang milik pak Doni, ada 30 kambing yang menyukai rumput
    gajah, dan pula 28 ekor kambing yang menyukai rumput teki.
    Apabila ada 4 ekor kambing yang tidak menyukai kedua rumput tersebut, maka tentukanlah
    berapa ekor kambing yang menyukai rumput gajah dan rumput teki tersebut ?
    Penyelesaian :
    Untuk mencarinya hasil nya, kita akan gunakan rumus himpunan berikut ini :
                  n { A Λ B } = ( n { A } + n { B } ) – ( n { S } – n { X } )
                  n { A Λ B } = ( 30 + 28 ) – ( 42 – 4 )
                  n { A Λ B } = 58 – 38
                  n { A Λ B } = 20 ekor
     Jadi, jumlah kambing yang menyukai kedua jenis rumput tersebut ialah 20 ekor.

6. Diketahui :
          K = { x | 5 x 9, maka x ialah bilangan asli }.
          L = { x | 7 x 13, maka x ialah bilangan cacah }.
    Maka tentukanlah hasil dari K ∪ L ?
    Penyelesaian :

K = { 5, 6, 7, 8, 9 }
L = { 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 }

K ∪ L = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 }

Jadi, hasil dari K ∪ L ialah { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 }.

7. Jika A = {faktor dari 8} dan B = {bilangan prima kurang dari 12}, maka A ∩ B =….

Penyelesaian :

A = {faktor dari 8}
A = {1, 2, 4, 8}

B = {bilangan prima kurang dari 12}
B = {2, 3, 5, 7, 11}

Tanda ∩ menyatakan irisan himpunan. Jadi A ∩ B adalah anggota A yang juga anggota B, maka

A ∩ B = {2}

8. Perhatikan Diagam Venn dibawah ini!

Berdasarkan diagram diatas, anggota himpunan S yang tidak menjadi anggota himpunan B

adalah…

   Penyelesaian :
   Diketahui:
   S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}
   B = {3, 5, 7, 9}

Jadi, anggota S yang tidak menjadi anggota B adalah {1, 2, 4, 6, 8}

9. Banyak himpunan bagian dari {a, b, c, d} adalah..

Penyelesaian :

Himpunan bagian atau subset adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari

himpunan lain. Jika n merupakan anggota suatu himpunan maka bagiannya dapat dihitung

      dengan rumus:
      Jumlah himpunan bagian = 2n
     Anggota himpunan {a, b, c, d} adalah 4 sehingga n = 4,

Jumlah himpunan bagian = 2ⁿ= 2⁴= 16

10. Jika semesta S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, maka (AUB)^C= ….

Penyelesaian :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A = {1, 2, 3}

B = {2, 3, 4}

(A∪B) = {1, 2, 3, 4} → Gabungan antara A dan B

karena S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} maka

(AUB)^C= {5, 6, 7}

11. Diketahui himpunan

P = {x|1<x≤11, x∈bilangan ganjil} dan

Q = {x|0<x<6, x∈bilangan asli}

maka P∪Q adalah ….
Penyelesaian :

P = {x|1<x≤11, x∈bilangan ganjil} = {3, 5, 7, 9, 11}

Q = {x|0<x<6, x∈bilangan asli} = {1, 2, 3, 4, 5}

maka P∪Q = {3, 5, 7, 9, 11}∪{1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11}

12. Diketahui A = {x|x<8, x∈C} , B = {x|3<x≤9,x∈B}. A∩B adalah …

Penyelesaian :

A = {x|x < 8, x∈C} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

B = {x|3 < x ≤ 9, x∈B} = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

     A∩B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}∩{4, 5, 6, 7, 8, 9} = {4, 5, 6, 7}

13. Tentukan himpunan di bawah ini apakah termasuk himpunan kosong ?
       a. M = himpunan bilangan ganjil antara 7 dan 9.
       b. L = himpunan bilangan prima genap.
      Penyelesaian:
      a. Bilangan ganjil antara 7 dan 9 tak ada, Jadi himpunan M yaitu himpunan kosong M = { } atau
          M = Æ, berarti n(M) = 0.

      b.
 Bilangan prima genap ada, yaitu 2. Jadi, himpunan L memiliki satu 
anggota, yaitu 2 ditulis 

          L = {2} dan n(L) = 1. Himpunan L bukan 
merupakan himpunan kosong.

Himpunan

Thursday, November 21, 2019

Operasi Himpunan dan Koleksi Soal - Pembahasan

Pengertian Himpunan

Notasi Himpunan

Jenis Jenis Himpunan

1. Himpunan Semesta

2. Himpunan Kosong

3. Himpunan Bagian

Hukum Himpunan

Operasi Himpunan

1. Irisan Himpunan

2. Gabungan Himpunan

3. Selisih

4. Komplemen himpunan

5. Beda setangkup (SYMMETRIC DIFFERENCE)

Diagram Venn

Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Contoh Soal dan Pembahasan

Operasi Himpunan dan Koleksi Soal - Pembahasan